Lección 19: Renta perpetua constante
La renta perpetua constante es aquella de duración infinita, en la que los importes de capital son siempre iguales (p.e. un título de deuda pública a perpetuidad a tipo fijo).
Al igual que las rentas temporales, las rentas perpetuas pueden ser pospagables (los importes se originan al final de cada subperiodo) o prepagables (se originan al principio de los subperiodos).
A) RENTAS PERPETUAS POSPAGABLES
Comenzaremos viendo el caso más sencillo, el de las rentas unitarias:
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Periodo
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1
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2
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3
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4
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5
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.....
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.....
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.....
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.....
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.....
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xx
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Importe (ptas)
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1
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1
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1
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1
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1
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1
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1
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1
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1
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1
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Vamos a calcular su valor actual, que representaremos por APo. Vamos descontando cada importe:
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Periodo
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Importe
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Importe descontado
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| x |
x |
x |
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1
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1
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1 / ( 1 + i )
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2
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1
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1 / ( 1 + i )^2
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3
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1
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1 / ( 1 + i )^3
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4
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1
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1 / ( 1 + i )^4
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5
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1
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1 / ( 1 + i )^5
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.....
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1
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1 / ( 1 + i )^....
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|
.....
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1
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1 / ( 1 + i )^....
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.....
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1
|
1 / ( 1 + i )^....
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La suma de todos los importes descontados es el valor actual APo. Si realizamos esta suma y simplificamos, llegamos a:
APo = 1 / i
Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta perpetua anual pospagable de 1 peseta, con un tipo de interés anual del 16%:
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Aplicamos la fórmula APo = 1 / i
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| x |
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luego, APo = 1 / 0,16
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luego, APo = 6,25 ptas.
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Si en lugar de una renta unitaria, estamos analizando una renta de importe constante "C", entonces la fórmula del valor actual será:
Vo = C * APo = C / i
Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta perpetua semestral pospagable de 1.000.000 ptas., con un tipo de interés anual del 10%:
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Como los importes son semestrales tendremos que utilizar la base semestral
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| x |
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Tipo de interés semestral:
1 + i = (1 + i2)^2
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Luego, 1 + 0,10 = (1 + i2)^2
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Luego, i2 = 4,88%
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| x |
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Aplicamos ahora la fórmula de valor actual, Vo = C / i
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luego, Vo = 1.000.000 / 0,0488
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luego, Vo = 20.491.803 ptas.
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B) RENTAS PERPETUAS PREPAGABLES
Calculamos el valor actual de una renta unitaria, que representaremos por ÄPo.
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Periodo
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Importe
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Importe descontado
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| x |
x |
x |
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1
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1
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1
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2
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1
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1 / ( 1 + i )
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3
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1
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1 / ( 1 + i )^2
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4
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1
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1 / ( 1 + i )^3
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5
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1
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1 / ( 1 + i )^4
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.....
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1
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1 / ( 1 + i )^....
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.....
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1
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1 / ( 1 + i )^....
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|
.....
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1
|
1 / ( 1 + i )^....
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Si realizamos esta suma y simplificamos, llegamos a:
ÄPo = (1 + i) / i
Veamos un ejemplo: Supongamos una renta perpetua anual prepagable de 1 peseta, con un tipo de interés anual del 16%:
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Aplicamos la fórmula ÄPo = (1 + i) / i
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| x |
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luego, ÄPo = (1 + 0,16) / 0,16
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luego, ÄPo = 7,25 ptas.
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Si la renta es de importe constante "C", entonces la fórmula del valor actual será:
Vo = C * ÄPo = C * (1 + i) / i
Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta perpetua semestral prepagable de 1.000.000 ptas., con un tipo de interés anual del 10%:
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Aplicamos la fórmula de valor actual,
Vo = C * (1 + i) / i
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luego, Vo = 1.000.000 * 1,0488 / 0,0488
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luego, Vo = 21.491.803 ptas.
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La relación entre el valor actual de una renta perpetua pospagable APo y el de una renta perpetua prepagable ÄPo es la siguiente:
ÄPo = (1 + i) * APo
Comprobar esta relación con el ejemplo de la renta unitaria
